Scriptie.nl · Nog een paar weken...

Binomiaal verdelingen

Binomiale verdelingen zijn het resultaat van zogenaamde binomiale experimenten. Binomiale experimenten hebben de volgende eigenschappen:

1. Een binomiaal experiment bestaat uit een vast aantal pogingen. Het aantal pogingen wordt genoteerd als n.
2. Elke keer zijn er 2 mogelijke uitkomsten. De ene uitkomst noemt men success, dan andere uitkomst failure.
3. De kans op success is p. De kans op failure is 1-p.
4. De pogingen zijn onafhankelijk wat inhoudt dat de uitkomst van een keer geen invloed heeft op andere pogingen.

De stochastische variabele staat voor het aantal keren success in n pogingen. Deze variabele noemt men ook wel de binomiale stochastische variabele.

Een kort voorbeeld:

Quirine gooit 10 keer met een 1 euromunt. Het aantal pogingen n is dus 10. Quirine wil zo vaak mogelijk "kop"gooien, dus ze beschouwt "kop" gooien als success. Als er sprake is van een zuivere munt, dan is de kans op "kop" 50%, dus p = 0,5. Ook kan er geconstateerd worden dat de pogingen onafhankelijk zijn, daar een worp met de munt geen invloed heeft op een vorige of volgende worp.

Binomiale stochastische variabele

Zoals al eerder vermeld is de binomiale stochastische variabele het aantal keren success in n pogingen van het experiment. Deze variabele kan waarden aannemen als 0, 1, 2, ..., n, kortom de stochastische variabele is discreet. Men moet in staat kunnen zijn te berekenen welke kans gerelateerd is aan elke waarde.

Als men een kansboom maakt met bij iedere fase twee takken (uitkomsten) die staan voor success en failure, is het duidelijk dat om de kans te berekenen op x keer success met n pogingen er voor elke success in de reeks vermenigvuldigd dient te worden met p. Als er x keren success zijn dan zijn er dus ook n-x keren failure. Elke failure in de reeks dient vermenigvuldigd te worden met 1-p. Kortom, de de kans voor elke reeks takken (in de kansboom) de staan voor x keer succes en n-x keer failure.

In een kansboom kunnen combinaties zich op verschillende manieren voordoen. Met een munt is bijvoorbeeld de combinatie "kop en munt" mogelijk als "kop-munt" of "munt-kop". Met de onderstaande formule kan men het aantal takkenreeksen berekenen met x keer success en n-x keer failure:

Als de twee bovenstaande formules gecombineerd worden, kan men het volgende concluderen:

De kans op x keer success in een binominaal experiment met n pogingen en met kans op success = p is: