Scriptie.nl · Nog een paar weken...

3 Verwachtingswaarde, variantie, standaard deviatie en covariantie

Het populatiegemiddelde geeft het gewogen gemiddelde aan van alle waarden in een populatie. De variantie geeft de spreiding aan van de waarden binnen de populatie. Hieronder zijn de formules voor beide termen te vinden:

Mocht men bijvoorbeeld een onderzoek doen naar het salaris van docenten in Nederland dan zou het salaris zijn van docent 1, het salaris van docent 2, enzovoorts. In dat geval is het aantal docenten waaruit de populatie uit bestaat.

Het populatiegemiddelde noemt men ook wel de verwachtingswaarde van X en noteert men als E(X). De formule voor de verwachtingswaarde van X is

Op dezelfde manier berekent men de populatievariantie V(X) wat het gewogen gemiddelde is van de gekwadrateerde standaarddeviaties van het gemiddelde.

Deze formule kan enigszins vergemakkelijkt worden:

De standaarddeviatie van de populatie krijgt men simpel door de wortel te trekken van de populatievariantie:

3.1 Regels voor verwachtingswaarde

Er zijn drie regels van toepassing op de verwachtingswaarde:

Waarbij X de stochastische variabele is en c een constante.

3.2 Regels voor variantie

Tevens zijn er drie regels van toepassing op de variantie:

Voorbeeld 3a

Een boekwinkel op een Universiteit heeft een maandelijkse omzet met een gemiddelde van €15.000 en een standaarddeviatie van €1.200. Winst wordt berekend door de omzet te vermenigvuldigen met 25% en te verminderen met €3.000 vaste kosten. Wat is het gemiddelde en de standaarddeviatie van de winst?

Uit het bovenstaande kan afgeleid worden dat

De verwachte of gemiddelde winst is

Als men de tweede regel van de verwachtingswaarde toepast, krijgt men

Past men de derde regel van de verwachtingswaarde toe, dan

De gemiddelde maandelijkse winst is dus €750.

De variantie is

Als men de tweede regel van de variantie toepast, krijgt men

En de derde regel van variantie houdt in dat

De standaarddeviatie van de winst is dan

3.3 Covariantie

Indien twee stochastische variabelen een lineaire relatie met elkaar hebben zijn er twee begrippen van belang, de covariantie en de correlatiecoëfficiënt. De covariantie COV geeft informatie over de richting en de grootte van de lineaire relatie tussen de variabelen. De formule voor de covariante tussen variabelen X en Y is als volgt:

Wat opvalt is dat men de deviaties van het gemiddelde van zowel X als Y vermenigvuldigen en dan vermenigvuldigen met de gemeenschappelijke kans. Daardoor kan men de formule ook herschrijven als:

De correlatiecoëfficiënt geeft de daadwerkelijk sterkte en grootte weer van de lineaire relatie. De formule voor de correlatiecoëfficiënt is

Als de correlatiecoëfficiënt tussen -1 en 0 ligt is er sprake van een negatieve lineaire relatie. Omgekeerd geldt dat als de correlatiecoëfficiënt tussen de 0 en 1 ligt er een positieve lineaire relatie geconstateerd kan worden. Is de correlatiecoëfficiënt gelijk aan 0 dan is er geen lineaire relatie.